Введение в топологию

На этой странице доступна общая информация и объявления по курсу топологии для 1 курса на ФМ ВШЭ (2-3 модули в 2020/21 году). По любым вопросам пишите на hsetop2021 at gmail.

Курс подготовлен при участии МЦНМО, МНМЦ НИУ ВШЭ и НТУ “Сириус”.

[ топология@Сириус.Курсы | доп. материалы | виды занятий | темы занятий ]

Дополнительные материалы

Экзамен (03.04.2021)

Задачи: базовый вариант, продвинутый вариант

Midterm (16.01.2021)

Программа.

Таблица участников (19.01 добавлены результаты).

Субботние лекции

В.А.Васильев (МИАН, ВШЭ). Топологические методы в теории интерполяций (13.03.2021)
Согласно интерполяционной формуле Лагранжа, многочлены степени не выше $n-1$ образуют $n$-интерполирующую систему функций на прямой: это значит, что для любых $n$ разных точек $x_1, ..., x_n$ и любых предписанных значений $a_1, ..., a_n$ можно найти полином степени не выше $n-1$, принимающий в каждой точке $x_i$ значение $a_i$. Есть ли такая же хорошая система функций на другом множестве, например на окружности или на плоскости, то есть набор из $n$ непрерывных функций, подходящие линейные комбинации которых принимают любые предписанные значения в любых $n$ точках этого множества? А если $n$ функций для этого недостаточно, то сколько будет достаточно?

Если останется время, поговорим о (идейно близких) задачах, связанных с приближенным решением полиномиальных уравнений с помощью непрерывных функций.
В.А.Клепцын (CNRS IRMAR). Вокруг инвариантов узлов (27.02.2021)
А.С.Скрипченко (ВШЭ). Бильярды в многоугольниках: когда топология встречается с динамикой (13.02.2021)
видеозапись
В.А.Клепцын (CNRS IRMAR). Деформации и инварианты (30.01.2021)
видеозапись
Н.С.Калинин (СПбГУ, ВШЭ СПб). Топологический анализ данных (12.12.2020)
видезоапись, слайды
В.А.Клепцын (CNRS IRMAR). Универсальный граф и универсальное метрическое пространство Урысона (14.11.2020)
видеозапись, слайды

О курсе

Виды занятий

Кроме традиционных семинаров (очных или онлайн) и доп. лекций/консультаций существенная часть нашего курса проходит онлайн, в системе Сириус.Курсы (если у кого-то еще нет доступа — нужно зарегистрироваться на edu.sirius.online и написать нам письмо).

Курс в системе состоит из учебных модулей. Основная часть модуля рассчитана примерно на неделю. Внутри модуля — видеофрагменты с теорией, упражнения (с автоматической проверкой) на ее понимание, задачи (про них полезно подумать самостоятельно, а узнать решения можно на семинаре или [позже] в системе). Все это — учебные вещи, к ним можно возвращаться в течение курса, это не влияет на оценку — за исключением того, что надо пройти все модули.

Кроме этого в системе есть еще два вида работы:
— задачный практикум (каждую среду и субботу появляются задачи для письменного решения; присланные решения мы проверяем и комментируем, дальше их можно дорабатывать; каждую задачу можно сдавать в течение 2 недель);
— (дистанционные) промежуточные тесты (нечастые — первый планируется в конце ноября).

Наконец, в середине и в конце курса будут midterm (16 января, дистанционный; доступна его программа) и финальный экзамен (3 апреля; обычно очный письменный).

Формула оценки

Внутренняя оценка за курс получается по формуле X=min(0.5S+0.2M+0.3F;100) где S — оценка за работу в системе, M — оценка за midterm, F — оценка за итоговый экзамен (каждая — не более 120 баллов). Оценка S за работу в системе складывается из работы в разделе «задачный практикум» и результатов промежуточных тестов, но выставляется только если получен зачет по всем обязательным учебным модулям.

Оценка в ведомость ВШЭ после этого ставится следующим образом:
для студентов программы «математика» — min(X/9;10) за оценку X на продвинутом уровне, min(X/15;6) за оценку 𝑋 на базовом;
для студентов совместного бакалавриата ВШЭ и ЦПМ — min(X/7;10) за оценку X на продвинутом уровне, min(X/10;9) на базовом (нецелые числа округляются стандартным образом). При этом экзамен является блокирующим: неудовлетворительный результат на экзамене означает несданный курс.

Темы занятий

Часть 1.

  1. Введение: наглядная топология; примеры топологических пространств и топологических теорем.
  2. Топология прямой: открытые и замкнутые множества, теорема Бэра и точки разрыва производной*.
  3. Метрические пространства: примеры, изометрия и гомеоморфизм, пространство Урысона*.
  4. Топологические инварианты: линейная связность, теорема о промежуточном значении и связность, доказательства негомеоморфности, теорема Брауэра и лемма Шпернера*.
  5. Полнота и ее применения: сжимающие отображения и применение к существованию решений уравнений, продолжение функций на пополнение*.
  6. Компактность: эквивалентные определения, связи с анализом, теорема Стоуна–Вейерштрасса*.
  7. Размерность: разные определения.

Доп. литература: О.Я.Виро, О.А.Иванов, Н.Ю.Нецветаев, В.М.Харламов. Элементарная топология

Часть 2.

Доп. литература: А.Б.Сосинский. Введение в топологию

email: hsetop2021 at gmail