\documentclass[a4paper,12pt,DIV14]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\usepackage{amsmath,amssymb}

\parindent=0em

% Заголовки
\def\sheetnum{7}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[LO,LE]{НМУ, Геометрия, 1 семестр}
\fancyhead[RO,RE]{листок \sheetnum, 24 октября 2012~г}
\fancyfoot{}

\def\ZZ{\mathbb Z}
\def\RR{\mathbb R}
\def\CC{\mathbb C}

\usepackage{iumsheet}

\begin{document}
\header{Правильные многогранники}



\task Найдите группу вращений тетраэдра.


\comment Напомним, что группа $Sp_1$ кватернионов единичной нормы двулистно накрывает группу~$SO_3$.


\task \sub Опишите явно прообраз группы вращений тетраэдра при накрытии $Sp_1\to SO_3$ \emph{(``бинарная тетраэдральная группа'').}

\sub Изоморфна ли возникающая группа прямому произведение исходной группы и~группы~$\ZZ/2$?



\task Докажите, что выпуклая оболочка элементов бинарной тетраэдральной группы (как подмножества $\mathbb H$) образует правильный 4-мерный многогранник и~найдите число его вершин, ребер, граней и~гиперграней.



\task Найдите группу вращений куба.


%\bigskip
%\centerline{* * *}


\task Группа вращений додекаэдра (или икосаэдра) изоморфна группе~$A_5$.



\comment Разобьем грани додекаэдра на 6 пар противоположных. Напишем на одной из них $\infty$, а~на ее соседях~--- последовательно числа от 0 до 4.

\task Возникающее действие группы $A_5$ на множестве $\mathbb P^1(\mathbb F_5):=\mathbb F_5\cup\{\infty\}$ задает \sub гомоморфизм; \sub изоморфизм $A_5\to PSL_2(\mathbb F_5)$.



\task* \sub Опишите явно прообраз группы вращений икосаэдра при накрытии $Sp_1\to SO_3$ \emph{(``бинарная икосаэдральная группа'').}

\sub Постройте (чисто алгебраически) гомоморфизм из получившейся подгруппы группы $Sp_1\cong SU_2\subset SL_2(\CC)$ в~группу $SL_2(\mathbb F_5)$.

\sub Изоморфна ли эта группа группе $A_5\times\ZZ/2$? группе $S_5$? группе $SL_2(\mathbb F_5)$?

\task* Докажите, что выпуклая оболочка элементов бинарной икосаэдральной группы образует правильный 4-мерный многогранник и~найдите число его вершин, ребер, граней и~гиперграней.


%\bigskip


\comment В~размерности 4 есть ровно 6 правильных многогранников: 4-симплекс, 4-куб, 4-октаэдр, ``октаплекс'' из задачи~2, ``гиперикосаэдр'' из последней задачи и~двойственный ему ``гипердодекаэдр''.
%
Начиная с~размерности 5 правильные многогранники исчерпываются $n$-симплексом, $n$-кубом и~$n$-октаэдром.

\end{document}