\documentclass[a4paper,14pt,DIV15,headinclude]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\usepackage{graphicx,microtype,xfrac,wrapfig}

\usepackage{tikz}\usetikzlibrary{patterns,shapes}


% Заголовки
\usepackage{scrpage2}
\pagestyle{scrheadings}
\setkomafont{pagehead}{\small}
\lohead{Математический кружок МЦНМО, 6 класс, занятие 3}
\rohead{18 октября 2014 г.}
\setfootsepline{.4pt}
\lofoot{http://www.mccme.ru/circles/mccme/}
\cfoot{}

\usepackage{iumsheet}


\begin{document}
\bigskip
\bigskip
\header{Фигуры на клетчатой бумаге}

\setcounter{task}{-1}\task[разминка]
Белка за 20 минут приносит орех в гнездо. Каково расстояние от орешника до гнезда, если налегке белка бежит со скоростью 5~м/с, а с орехом~--- 3~м/с?
% A: 2,25 км
%% разобрать непременно (мб с неправильным решением)


\begin{wrapfigure}[0]{r}{30mm}
\vspace{-12mm}
\begin{tikzpicture}[scale=.75]
\draw[thick] (0,0) rectangle (4,3);
\draw[pattern=north east lines,very thick] (0,0)--(4,0)--(1.25,3)--cycle;
\end{tikzpicture}
\end{wrapfigure}

\task\sub Треугольник лежит в прямоугольной коробке, так что одна из его сторон совпадает с дном коробки, а оставшаяся вершина лежит на противоположной стороне коробки. Какую часть площади коробки занимает треугольник?
\parshape=4 0em 28em 1.5em 26.5em 1.5em 26.5em 1.5em 35em

\sub* Можно ли треугольник площади 10 убрать в~какую-нибудь прямоугольную коробку площади 19?

\task Вычислите площадь (в~клеточках) фигур на рисунке.

\smallskip
\centerline{
\begin{tikzpicture}[scale=.5]
\draw (-.5,-.5) grid (10.5,3.5);
\draw[pattern=north east lines,very thick] (0,0)--(2,1)--(1,3)--cycle;
\draw[pattern=north east lines,very thick,shift={(-1,0)}] (3,2)--(4,0)--(6,0)--(4,1)--(6,3)--cycle;
\draw[pattern=north east lines,very thick,shift={(-1,0)}] (5,1)--(7,2)--(8,3)--cycle;
\draw[pattern=north east lines,very thick,shift={(-1,0)}] (6,1)--(7,0)--(8,2)--cycle;
\draw[pattern=north east lines,very thick,shift={(-1,0)}] (10,0)--(8,1)--(9,3)--(11,2)--cycle;
\end{tikzpicture}
}

\task\sub Чему может быть равна площадь треугольника с~вершинами в~узлах клетчатой бумаги? Может ли она, например, равняться $5\sfrac13$ кл.? 

\sub А~площадь 5-угольника?

\task Разрежьте каждую из фигур на рисунке одним разрезом на две части, из которых можно сложить квадрат.
%% можно рассказать хохму про площадь

\vspace{-1em}

\centerline{
\hspace{9em}
\begin{tikzpicture}[scale=.5]
\draw (-.5,-.5) grid (7.5,4.5);
\draw[pattern=north east lines,very thick]
    (0,0)--(7,0)--(7,1)--(6,1) arc (270:180:3) arc (90:170:3)--cycle;
\end{tikzpicture}
\quad
\begin{tikzpicture}[scale=.5]
\draw (-.5,-.5) grid (8.5,6.5);
\draw[pattern=north east lines,very thick] 
    (0,0)--(3,0)--(3,2)--(6,2)--(8,6)--(5,6)--(5,4)--(2,4)--cycle;
\end{tikzpicture}
}

\task Сколько всего существует разрезаний квадрата $4\times4$ (по клеточкам) на две равные части?

\task Прямоугольник составлен из шести квадратов. Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького равна~1.
% A: 7
%% http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=103790

\smallskip

\enlargethispage{\baselineskip}

\centerline{
\begin{tikzpicture}[scale=.3]
\draw[thick]
    (0,0) rectangle (4,4)
    (4,0) rectangle (8,4)
    (0,4) rectangle (7,11)
    (7,4) rectangle (8,5)
    (7,5) rectangle (13,11)
    (8,0) rectangle (13,5)
;
\end{tikzpicture}
}
\end{document}