На картинке — теорема Монжа. А вот доказательство без картинок.
Обозначим центры окружностей A, B, C, их радиусы — a, b, c. Пускай [B,C] — линейная функция на плоскости, которая в точках B и C равна 0, а в точке A равна 1 (в частности, [B,C]=0 — уравнение линии центров этих окружностей). Аналогично определим функции [C,A] и [A,B].
Тогда a[B,C]+b[C,A]+c[A,B]=0 — уравнение прямой, на которой лежат нужные три точки. (Действительно, в точке пересечения внешних касательных к окружностям B и C функция [B,C] равна 0, а значения функций [C,A] и [A,B] относятся как раз как -c:b.) Voilà.
(Image credit: Математические этюды.
По ссылке строится плоскость — а именно, общая касательная к шарам, экваторами которых являются наши круги — пересекающая плоскость рисунка по пунктирной прямой. В доказательстве выше аналогичную роль играет график функции a[B,C]+b[C,A]+c[A,B]. Есть, однако, нюанс: плоскости, касающейся трех шаров, может и не существовать. А вот построенная так алгебраически плоскость существует всегда.
Есть и непохожее, на первый взгляд, на выход в пространство доказательство теоремы Монжа — при помощи теоремы Менелая. Оно тоже непосредственно связано с доказательством, написаным выше.)