Задачи Серёжи Маркелова

Перечислить здесь все задачи нет никакой возможности — только на problems.ru их около 50. Но вот несколько разных задач, которые запомнились. К некоторым приводятся авторские комментарии.

Серёжа вырезал из картона две одинаковые фигуры. Он положил их с нахлёстом на дно прямоугольного ящика. Дно оказалось полностью покрыто. В центр дна вбили гвоздь. Мог ли гвоздь проткнуть одну картонку и не проткнуть другую? (Матпраздник-2008)

В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно $23021^{377}-1$. Не опечатка ли это? (Матпраздник-2001)

Назовём белыми числа вида $\sqrt{a+b\sqrt2}$, где $a$ и $b$ — целые, не равные нулю. Аналогично, назовём чёрными числа вида $\sqrt{c+d\sqrt7}$, где $c$ и $d$ — целые, не равные нулю. Может ли чёрное число равняться сумме нескольких белых? (ММО-2004)

Можно ли расположить на плоскости окружность и параболу таким образом, чтобы их пересечение состояло ровно из двух точек, в одной из которых окружность касалась бы параболы, а в другой — нет? (Тургор-2004)

Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них. (ММО-2005)

Комментарий. Данная задача приоткрывает дверь в волшебный мир открытых проблем современной геометрии — ибо если начать смотреть чуть глубже в любом направлении, возникает нерешённая проблема. Укажем некоторые направления возможного исследования:

1) Круг разделён на 12 равных частей так, что центр лежит на границе некоторых, но не всех частей. Верно ли, что части равны частям, получающимся при одном из разрезаний, указанных в решении? Никто не знает!

2) При каких $n$ круг можно разделить на $n$ равных частей так, чтобы центр лежал на границе некоторых, но не всех частей? (Пример известен лишь при $n$ вида $6k$, $k\gt 2$; недавно наш соотечественник А.Я.Канель-Белов доказал, что при $n = 2$ такое деление невозможно, больше ничего не известно).

3) Круг разделён на несколько равных частей. Верно ли, что диаметр каждой из частей не меньше радиуса круга? Никто не знает! (Диаметром фигуры, отличной от круга, называют наибольшее из расстояний между её точками.)

4) Можно ли разделить круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга лежал строго внутри (не на границе) одной из частей? Ответ на этот вопрос не известен не только для круга, но и для правильных $n$-угольников при $n\gt 4$.

5) Аналогичные вопросы можно поставить про шар в пространстве. Там не известно ни одного ответа (в том числе и на вопрос, аналогичный поставленному на олимпиаде).

Можно ли, применяя к числу 2 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в любом количестве и в любом порядке, получить число 2010? (ММО-2010)

Замечание. Прошедшая в 1935 году московская олимпиада школьников по математике была первой не только в нашей стране. Она вызвала большое обсуждение педагогической и научной общественности в разных странах. На вторую олимпиаду предложил свою задачу известный английский физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии по физике 1933 года Поль Дирак. Задача формулировалась так:

Представить произвольное натуральное число в виде выражения, в запись которого входят только три двойки и произвольные математические знаки.

Решение просто и элегантно: $$ -\log _2\left(\log _2 \sqrt{2}\right)=1,\quad -\log _2\left(\log _2\sqrt{\sqrt{2}}\right)=2,\quad -\log _2\left(\log _2\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}\right)=3, $$ и так далее.

Автор настоящей задачи, будучи школьником, прочитал задачу Дирака в книге Г.А.Гальперина и А.К.Толпыго “Московские математические олимпиады” (см. также статью Н.Малова “Задача Дирака”) и задумался: а можно ли обойтись двумя двойками? Через 17 лет удалось выяснить, что достаточно и одной. Как часто бывает в математике, достаточно лишь поверить, что одной двойки хватает, и задача решается.

Бумажный тетраэдр разрезали по рёбрам так, что получилась плоская развёртка. Могло ли случиться, что эту развёртку нельзя расположить на плоскости без наложений (в один слой)? (Тургор-2003)

Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный многочлен $P(x)$ с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить ему только значения $P(2)$ и $P(P(2))$. Барон утверждает, что он только по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не ошибается ли барон? (Тургор-2010)

Задачи Серёжи Маркелова (продолжение)

Серёжа придумал фигуру, которую легко разрезать на две части и сложить из них квадрат (см. рис.). Он утверждает, что это можно сделать ещё одним способом. Найдите этот способ. (ММО-2006)

На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого – с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придётся опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад? (Тургор-1995)

Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$. На боковых сторонах трапеции, как на диаметрах, построены окружности. Точка $K$ лежит вне этих окружностей. Докажите, что длины касательных, проведённых к этим окружностям из точки $K$, равны. (Тургор-1995)

$ABCDE$ — правильный пятиугольник. Tочка $B'$ симметрична точке $B$ относительно прямой $AC$. Mожно ли пятиугольниками, равными $AB'CDE$, замостить плоскость? (Устная геометрия-2005)

Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между двумя точками считаем длину соединяющего их кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда.) (Тургор-2003)

Криволинейный многоугольник — это многоугольник, стороны которого — дуги окружностей. Существуют ли такой криволинейный многоугольник $\mathcal P$ и такая точка $A$ на его границе, что любая прямая, проходящая через точку $A$, делит периметр многоугольника $\mathcal P$ на два куска равной длины? (Тургор-2006)

Две точки на плоскости несложно соединить тремя ломаными так, чтобы получилось два равных многоугольника. Соедините две точки четырьмя ломаными так, чтобы все три получившихся многоугольника были равны. (Ломаные несамопересекающиеся и не имеют общих точек, кроме концов.) (ММО-2009)

Комментарии. 1. Аналогичным образом можно соединить две точки и пятью ломаными так, чтобы все возникающие многоугольники были равны. Оказывается, однако, что соединить две точки шестью ломаными так, чтобы все возникающие многоугольники были равны, невозможно.

2. Интересно, что многоугольниками такого вида можно замостить плоскость, причём непериодическим образом.

Назовём полоской клетчатый многоугольник, который можно пройти целиком, начав из какой-то его клетки и далее двигаясь только в двух направлениях — вверх или вправо. Несколько таких одинаковых полосок можно вставить друг в друга, сдвигая на вектор $(-1, 1)$. Докажите, что для любой полоски, состоящей из чётного числа клеток, найдётся такое нечётное $k$, что если объединить $k$ таких же полосок, вставив их последовательно друг в друга, то полученный многоугольник можно будет разделить по линиям сетки на две равные части. (На рисунке приведён пример.) (Тургор-2024)