«…я считал, что есть две математики — алгебраическая и геометрическая, и что геометрическая математика принципиально “трансцендентна” для алгебраической. Возьмите, например, формулу длины окружности — там есть “геометрическое” число $\pi$. Или, скажем, синус — он определяется чисто геометрически.
Когда я обнаружил, что синус можно записать алгебраически в виде ряда, барьер обрушился, математика стала единой.»
— из интервью И. М. Гельфанда
«Калейдоскоп» ниже состоит из нескольких «алгебраических» формул для $\pi$ с краткими комментариями. Он также опубликован (с сокращениями) в журнале «Квант» (№5 за 2020 год).
Одна из первых алгебраических формул для $\pi$ — это открытое в XVI веке Виетом бесконечное произведение $$ \frac\pi2=\frac2{\sqrt2}\cdot\frac2{\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot\frac2{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\ldots $$ Это равенство не очень сложно доказать. Идея состоит в следующем. Применяя несколько раз формулу $\sin t=2\sin\frac t2\cos\frac t2$, получаем, что $\sin x=2^n\sin\frac x{2^n}\cdot(\cos\frac x2\cdot\cos\frac x4\cdot\ldots\cdot\cos\frac x{2^n})$. Но при малых $t$ имеет место приближенное равенство $\sin t\approx t$ (говоря точнее, отношение $\sin t/t$ стремится к 1). Поэтому $2^n\sin(x/2^n)\approx x$ (при $n\to\infty$) и, устремляя $n$ к бесконечности, мы получаем разложение синуса в бесконечное произведение $$ \frac{\sin x}x=\cos\frac x2\cdot\cos\frac x4\cdot\cos\frac x8\cdot\ldots $$ Чтобы получить формулу Виета, остается подставить $x=\pi/2$ (и найти косинусы в правой части, пользуясь формулой половинного угла).
Геометрически формула Виета связана с приближением окружности правильными
Во второй половине XVII века Лейбниц нашел замечательно простое представление $\pi$ в виде (бесконечной) суммы рациональных слагаемых, $$ \frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\ldots $$ Для современного студента эта формула, вероятно, самая понятная из собранных здесь: она получается, если подставить $x=1$ в разложение арктангенса в степенной ряд $$ \operatorname{arctg} x=x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5-\frac{x^7}7+\ldots $$ (отметим, впрочем, что при $|x|>1$ ряд в правой части расходится и доказательство того, что равенство верно не только при $|x|<1$, но и для $x=1$, требует отдельных усилий).
Суммы типа той, что стоят в правой части формулы Лейбница, часто возникают в теории чисел. В частности, если знать, какие числа представимы в виде сумм двух квадратов (cм., например, статью В. Сендерова и А. Спивака в Кванте-1999), то можно доказать, что сумма $L=4(1-1/3+1/5-1/7+\ldots)$ вычисляет среднее (по $N$) количество решений уравнения $x^2+y^2=N$ в целых числах. Это объясняет, почему в ответе возникает число $\pi$: с одной стороны, количество целых точек в круге большого радиуса (т. е. число решений неравенства $x^2+y^2\leqslant R^2$) примерно равно $L\cdot R^2$, а с другой стороны, количество целых точек в большом круге примерно равно его площади, $\pi R^2$.
В 1734 году Эйлер решил не поддававшуюся разным математикам уже без малого 100 лет проблему и нашел сумму обратных квадратов: $$ \frac{\pi^2}6=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\ldots $$ Рассуждение Эйлера связано с разложением синуса в бесконечное произведение, $$ \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}=\biggl(1-x^2\biggr)\biggl(1-\frac{x^2}{2^2}\biggr)\biggl(1-\frac{x^2}{3^2}\biggr)\biggl(1-\frac{x^2}{4^2}\biggr)\ldots $$ (см., например, книгу «Что такое математика?» Куранта и Роббинса).
С тех пор был найден не один десяток различных доказательств формулы для суммы обратных квадратов.
В статье
Как уже говорилось, суммы подобного вида часто возникают в теории чисел. В частности, из формулы Эйлера следует, что «вероятность того, что случайная дробь несократима, равна $6/\pi^2$» (говоря точнее, если выбрать два случайных числа $k$ и $l$ от $1$ до $N$, то вероятность того, что дробь $k/l$ несократима, стремится с ростом $N$ к $6/\pi^2$).
Совсем неформально последнее утверждение можно объяснить так. Вероятность того, что простое число $p$ делит оба взятых наугад числа, равна $1/p^2$. Поэтому вероятность того, что два наугад взятых числа взаимно просты, равна произведению $\prod(1-1/p^2)$ по всем простым $p$ (то, что рассматриваемые события «независимы» и их вероятности можно перемножать, связано с китайской теоремой об остатках). Осталось воспользоваться тем, что $\prod(1-1/p^2)^{-1}=\prod(1+1/p^2+1/p^4+\ldots)=\sum 1/n^2$ (последнее равенство — это, по сути, основная теорема арифметики). Более серьезное обсуждение вопроса можно найти, например, в книге «Введение в теорию чисел» Харди и Райта.
Если подставить $x=\pi/2$ в разложение Эйлера синуса в бесконечное произведение, то получается равенство $$ \frac\pi2= \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot\ldots}{1\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot\ldots} $$ Впрочем, Джон Валлис нашел эту формулу уже в середине XVII века, почти за 100 лет до формулы Эйлера, вычисляя некоторые интегралы.
В упоминавшейся выше статье Ягломов при помощи элементарной тригонометрии доказывается и формула Валлиса. А J. Wästlund нашел и доказательство (в духе «геометрического суммирования»), непосредственно связывающее произведение Валлиса с площадью круга — см. его статью (AMM, 2007) или лекцию
При помощи формулы Валлиса можно доказать, что если подкинуть монету $2n$ раз, то вероятность того, что орлов и решек выпадет в точности поровну, приблизительно равна $1/\sqrt{\pi n}$.
Также формула Валлиса помогает доказать приближенную формулу Стирлинга для факториала (и об этом, и об интегральном доказательстве формулы Валлиса можно прочитать в статье А. Егорова в Кванте-2015), $$ n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n, $$ которая является источником появления числа $\pi$ в комбинаторных задачах.
Формулы выше не слишком хорошо подходят для вычисления $\pi$. Например, сумма первых 500 членов формулы Лейбница дает лишь два верных знака после запятой.
Впрочем, если добавить к сумме $\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(-1)^k}{2k+1}$ поправку $1/N-1/4N^3+5/16N^5$, то количество правильных цифр для $N=500$ вырастет с 2 до 15 (!).
Ситуация радикально улучшается, если кроме разложения арктангенса в ряд пользоваться тождествами типа $\pi/4=\operatorname{arctg} 1/2+\operatorname{arctg} 1/3$ и $\pi/4=4\operatorname{arctg} 1/5-\operatorname{arctg} 1/239$. Именно так уже в начале 18 века $\pi$ было вычислено с точностью до 100 знаков после запятой.
А в начале XX века Рамануджан нашел ряд формул, обобщения которых сходятся настолько быстро, что позволяют вычислить на достаточно мощном персональном компьютере триллионы знаков $\pi$. Вот одна из таких формул: $$ \frac1\pi = 12\sum_k(-1)^k\frac{(6k)!}{(3k)!(k!)^3}c_k, $$ где $$ c_k=\frac{163\cdot 3344418k+13591409}{640320^{3(k+1/2)}}. $$ Скажем про нее только, что если предыдущие формулы были связаны с тригонометрическими функциями, то эта — с модулярными формами, а $163$ и $640320^3$ — те же числа, что возникают в удивительном (погрешность менее $10^{-12}$!) равенстве $$ e^{\pi\sqrt{163}}\approx 640320^3+744. $$