Экспонента — функция, играющая особую роль в разных областях математики. Ниже собрано несколько определений этой функции, соответствующих разным точкам зрения.
Начнем с самого прямолинейного подхода: $$ \exp(x)=e^x,\quad e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n= 2{,}71828\ldots $$
Для доказательства существования предела полезно понимать, что последовательность $(1+1/n)^n$ возрастает, а последовательность $(1+1/n)^{n+1}$ убывает. Это заодно дает оценку того, насколько близки конкретные значения к пределу: видим, например, что $1{,}01^{100}$ отличается от $e$ не более чем на $1\%$ (в меньшую сторону).
Из первого определения, кажется, не очень ясно, чем замечательна именно такая функция (по сравнению, например, с функцией $2^x$ — казалось бы, гораздо более естественной).
Возникают некоторые трудности и с деталями формального определения (что такое возвести число в степень 7 понятно: перемножить 7 одинаковых чисел, что такое возвести число в степень 3/2 тоже несложно объяснить... но вот возведение в степень $\sqrt2$ уже дело не такое простое). И совсем трудно пользоваться таким определением, если хочется брать экспоненту не только от чисел.
Так что полезно иметь и другие определения экспоненты.
Можно определить как предел не только число $e$, но и сразу экспоненту: $$ \exp(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n $$
Опуская детали, неформально можно сказать, что если $\varepsilon$ число маленькое, а $N$ большое, то $(1+\varepsilon)^N\approx\exp(\varepsilon N)$. Это уже объясняет возникновение экспоненты в некоторых ситуациях.
Например, если вы взяли микрокредит «всего» под $0{,}8\%$ в день, то через год сумма долга вырастет в $(1+0{,}008)^{365}\approx\exp(365\cdot0{,}008)\approx\exp(2{,}9)$, т.е. почти в 20 раз (а не в $1+365\cdot0{,}008\lt 4$ раза). В качестве более позитивного упражнения — объясните «правило 72»: чтобы узнать, за сколько примерно лет удвоится вклад, разделите 72 на процентную ставку в год.
Конечно, это определение полезно не только для подсчета сложных процентов. Например, оно уже позволяет определить экспоненту комплексного числа.
Если в выражении $(1+x/n)^n$ раскрыть скобки, то коэффициент при $x^k$ будет равен $\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}\cdot\frac1{n^k}=\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{n^k}\cdot\frac1{k!}$. Если перейти в каждом члене к пределу по $n$ (и обосновать, почему сумма от этого не меняется — вообще говоря, переходить к почленному пределу к бесконечной сумме, конечно, нельзя!), то можно прийти к разложению экспоненты в бесконечный ряд: $$ \exp(x)=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots $$
С таким определением экспоненты комплексного числа уже не очень сложно если не объяснить, то хотя бы доказать знаменитую формулу Эйлера $$ \exp(ix)=\cos x+i\sin x. $$
Замечательно, что таким рядом можно определить экспоненту не только числа (пусть и комплексного), но и, скажем, оператора ($n$-ю степень оператора при этом надо, как обычно, понимать как $n$-кратное применение, а слагаемое «1» — как тождественный оператор).
Упражнение: экспонента оператора дифференцирования (рассматриваемого, например, на пространстве многочленов) — это оператор сдвига аргумента на 1. Отсюда, кстати, уже недалеко до формулы Эйлера–Маклорена и проч. (см., например, статью «Алгебра, геометрия и анализ сумм степеней последовательных чисел» в выпуске 21 третьей серии МатПросвещения).
Экспонента — это дифференцируемое решение уравнения $$ \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y), $$ удовлетворяющее условию $\exp'(0)=1$.
Все непрерывные решения функционального уравнения $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$ имеют вид $f(x)=c^x$. Часто это является частью определения возведения в степень, так что в известном смысле мы недалеко ушли от самого первого определения… Зато дополнительное условие объясняет, чем функция $\exp(x)$ лучше остальных показательных функций: ее производная устроена проще всего.
Упражнение: проверьте, что ряд из предыдущего определения удовлетворяет этому функциональному уравнению.
Функциональное уравнение можно продифференцировать по $y$ при $y=0$. Получится, что экспонента — это решение уравнения $$ \exp'(x)=\exp(x) $$ с начальным условием $\exp(0)=1$.
Существование и единственность решения дифференциального уравнения с фиксированным начальным условием следует (по крайней мере, локально) из общей теории (не такой, впрочем, простой). С другой стороны, совсем просто решить это уравнение в формальных степенных рядах — и получить формулу из третьего определения.
Наверное именно это определение лучше всего объясняет появление экспоненты в явных формулах для решений различных дифференциальных уравнений.
С другой стороны, от этого определения один шаг до экспоненты как отображения в группу Ли из ее алгебры Ли. Вместо объяснения этих возвышенных слов рассмотрим конкретный пример: с такой точки зрения $\exp(it)\colon\mathbb R\to\mathbb C$ соответствует движению по плоскости, при котором $\exp'(it)=i\exp(it)$, т.е. вектор скорости получается из радиус-вектора поворотом на $90^\circ$ против часовой стрелки. Как выглядит такое движение, известно: это движение по окружности (единичного радиуса, т.к. $\exp(0)=1$), т.е. $\exp(it)=\cos t+i\sin t$. Пожалуй, такое рассуждение не просто доказывает формулу Эйлера, но и объясняет ее.
В этом подходе мы начинаем не с экспоненты, а с обратной к ней функции (натурального логарифма), который определяем как $$ \exp^{-1}(x)=\int_1^x\frac1t\,dt. $$
Про такую плошадь под гиперболой легко понять, что она удовлетворяет функциональному уравнению из определения 4 (или дифференциальному уравнению из определения 5) — для этого не нужно даже знаний про интегралы, см. статью В.А.Клепцына «Изобретая логарифмическую линейку» в №№2-3 за 2022 год журнала «Квантик». Можно сказать, что это — явная конструкция функции, удовлетворяющей нужным нам свойствам (опр. 4 или 5).
Определение может показаться довольно странным — хотя бы тем, что мы начинаем с построения не той функции, которая нам нужна, а обратной к ней. Но вообще примерно так же, если задуматься, устроено определение и тригонометрических функций: «$\sin\varphi$ — это такая функция, что длина дуги кривой $x^2+y^2=1$ от $y=0$ до $y=\sin\varphi$ равна $\varphi$» — это тоже, фактически, определение не для синуса, а для обратной к нему функции — и тоже, если угодно, через интеграл: $$ \sin^{-1}(y)=\int_0^y\frac1{\sqrt{1-t^2}}\,dt. $$ (Знатоки могут тут вспомнить и конструкцию эллиптических функций по Абелю.)
Конечно, у этого определения есть и другой недостаток: повысив конструктивность мы потеряли общность — буквально интеграл из определения логарифма определен только для положительных вещественных чисел, обратная к нему функция $\exp(x)$ — для произвольных вещественных. (Впрочем, если преодолеть некоторые технические сложности, то можно так определить и экспоненту комплексных чисел.)
Это входит в программу нашего круиза: кажется, что среди приведенных определений нет одного “самого лучшего”, а полезно иметь в виду разные точки зрения на предмет.