Комментарий к статье Г. Вейля «Об объеме труб»

В. И. Арнольд

Работа Г. Вейля об объеме труб оказала влияние на несколько отделов математики: с фактически содержащейся в ней¹ многомерной формулы Гаусса—Бонне начинается бурное развитие дифференциально-геометрических аспектов теории характеристических классов, на ее основе получены фундаментальные результаты в теории «многомерных вариаций» А. Г. Витушкина и в интегральной геометрии; комплексные аналоги теорем Вейля об объемах труб непосредственно приводят к классам Чженя и в последнее время эффективно используются при исследовании особенностей аналитических многообразий (Гриффитс).

А. Связь теории объема труб с формулой Гаусса—Бонне состоит в следующем. Коэффициент при старшей степени радиуса в формуле для объема трубы — топологический инвариант. Его вычисление приводит к формуле Гаусса—Бонне, выражающей интеграл гауссовой кривизны риманова компактного многообразия через его эйлерову характеристику. Таким образом, формула, связывающая две внутренние, не зависящие от вложения характеристики риманова многообразия, была получена именно из анализа вложения в евклидово пространство — поучительный пример того, насколько выход за рамки аксиоматической теории и привлечение внешних по отношению к рассматриваемой задаче структур может облегчать ее решение.

Ход вычислений следующий:

1) Для гиперповерхности в евклидовом пространстве формула Гаусса—Бонне доказывается легко (X. Хопф). Действительно, интеграл полной (гауссовой) кривизны равен произведению объема единичной сферы на степень гауссова отображения гиперповерхности в эту сферу как интеграл от якобиана гауссова отображения. Степень же гауссова отображения равна половине эйлеровой характеристики гиперповерхности. Последнее сразу следует из теории Морса. [Ограничим на гиперповерхность линейную функцию общего положения. Точки ее максимума и минимума на единичной сфере назовем северным и южным полюсами. Степень гауссова отображения равна числу прообразов северного (или южного) полюса, сосчитанному с учетом ориентации. Вклад прообраза южного полюса равен $(-1)^i$, где $i$ — индекс Морса критической точки функции на гиперповерхности. Для каждого прообраза северного полюса вклад такой же, если размерность гиперповерхности четна, и противоположный в противном случае. Сумма индексов всех критических точек равна эйлеровой характеристике гиперповерхности (по формуле Эйлера—Пуанкаре). Поэтому степень гауссова отображения равна половине эйлеровой характеристики как для четномерной гиперповерхности, так и для нечетномерной (в последнем случае эйлерова характеристика нулевая).]

2) Формула объема труб позволяет перенести формулу Гаусса—Бонне с гиперповерхностей на подмногообразия любой коразмерности в евклидовом пространстве. Для дальнейшего удобно считать коразмерность нечетной (этого можно добиться, умножив, если нужно, объемлющее пространство на прямую).

Край трубчатой окрестности достаточно малого радиуса — гладкая гиперповерхность. Коэффициенты при старших степенях радиуса трубы в разложении объема трубчатой окрестности исходного многообразия и гиперповерхности различаются лишь множителем 2 (здесь использована нечетность коразмерности). По формуле Вейля указанный коэффициент для исходного подмногообразия равен, с точностью до постоянного множителя, интегралу от гауссовой кривизны подмногообразия. Следовательно, интеграл от гауссовой кривизны подмногообразия евклидова пространства пропорционален эйлеровой характеристике края трубчатой окрестности, а значит, и эйлеровой характеристике самого подмногообразия: $\chi(\text{края})=2\chi(\text{подмногообразия})$, так как коразмерность $m$ подмногообразия нечетна, и, значит, $\chi(S^{m-1}) = 2$.

3) Чтобы доказать теперь формулу Гаусса—Бонне для любого компактного риманова многообразия, достаточно изометрически вложить подмногообразие в евклидово пространство достаточно высокой размерности, что всегда возможно по теореме Нэша. Можно обойтись и без ссылки на теорему Нэша: для этого достаточно проверить, что интеграл от гауссовой кривизны является, как говорят физики, топологическим зарядом, т. е. не меняется при малых вариациях метрики. Последнее достигается применением формулы Стокса к надлежащим образом записанной производной от интеграла по параметру.

Б. Связь теории объема труб с вариациями и интегральной геометрией ясна уже из классической теоремы Бюффона—Крофтона, в которой появляются коэффициенты формулы Вейля. В простейшем случае выпуклого тела теорема такова: коэффициент размерности $(\text{длина})^p$ в формуле для объема окрестности равен объему ортогональной проекции тела на $p$-мерное пространство, усредненному по многообразию Грассмана всех $p$-мерных подпространств линейного пространства (с точностью до множителя, зависящего лишь от размерностей).

Есть два обобщения этой теоремы на невыпуклый случай. Первое построено А. Г. Витушкиным в его теории многомерных вариаций². При определении вариации размерности $p$ объем проекции усредняется с учетом кратностей без учета ориентации. Полученные характеристики подмногообразий Витушкин искусно применил к 13-й проблеме Гильберта для доказательства непредставимости функций суперпозициями. Связь вариаций с коэффициентами формулы объема трубы заключается в оценках вариаций сверху через интегралы от модулей кривизн (см.: Леонтович A. M., Мельников М. С. Об ограниченности вариаций многообразия. — Тр. Моск. мат. о-ва, 1965, т. 14, с. 306–337). В последнее время вариации многообразий, связанных с критическими точками гладких функций и отображений, используются в теории особенностей (см.: Ландис Е. Е. Оценки вариаций множеств меньших значений гладкой функции в окрестности точки минимума. — Вестн. МГУ. Сер. 1, Математика, механика, 1980, № 3, 24–28; Арнольд В. И. Некоторые нерешенные задачи теории особенностей. — Тр. семинара С. Л. Соболева (Новосибирск), 1976, № 1, с. 5–15).

В интегральной геометрии вместо интеграла от кратности пересечения усредняется интеграл от эйлеровой характеристики прообраза точки при проектировании. Иными словами, рассматривается интеграл от эйлеровой характеристики пересечения многообразия со всеми аффинными плоскостями фиксированной размерности в евклидовом пространстве (по естественной мере на многообразии всех таких плоскостей).

Этот интеграл оказывается пропорциональным коэффициенту формулы Вейля, имеющему такую же размерность, уже независимо от выпуклости. Множитель пропорциональности, как всегда, зависит лишь от размерностей.

В. Связь теории объемов труб с классами Чженя состоит в выражении коэффициентов многочлена, равного объему трубчатой окрестности комплексного аналитического многообразия, через форму Чженя кэлеровой связности подмногообразия и подходящую степень кэлеровой симплектической структуры. Точнее, обозначим через $\tau_r(M)$ объединение шаров малого радиуса $r$ в нормальных плоскостях многообразия $M$, лежащего в комплексном пространстве $\mathbb C^N$, снабженном обычной эрмитовой метрикой (если $r$ не мало, нужно брать точки трубчатой окрестности с кратностями). Для комплексного многообразия размерности $m$ и коразмерности $n$ формула объема труб имеет вид $$ \operatorname{Vol}\tau_r(M)=\sum_{k=0}^m c_{k,m,n}r^{2(n+k)}\mu_k(M), $$ где $$ \mu_k(M)=\int_M c_k(\Omega_M)\wedge\varphi^{m-k}. $$ Здесь $\varphi$ — стандартная кэлерова 2-форма, $\Omega_M$ — форма кривизны кэлеровой связности, $c_k$ — формы Чженя, определяемые разложением $$ \det\left(\lambda E+\frac{i}{2\pi}\Omega\right)=\sum_{k=0}^m\lambda^{m-k}c_k(\Omega). $$

Аналогичная формула имеет место и в проективном пространстве. Для компактного неособого (следовательно, алгебраического) подмногообразия комплексного проективного пространства все коэффициенты имеют топологическую природу и выражаются через классы Чженя $с_k(M)\in H^{2k}(M)$ и класс гиперплоского сечения $\varphi\in H^2(M)$. В частности, топологическую природу имеет объем комплексного алгебраического многообразия (по известной теореме Виртингера этот объем равен степени подмногообразия с точностью до множителя, зависящего от размерностей, т. е. от выбора единицы длины в проективном пространстве). Таким образом, в этом случае формула объема труб доставляет обобщение теоремы Виртингера.

При исследовании аффинных многообразий и их особенностей формулы объемов труб применяются обычно к части многообразия, попавшей в шар в $\mathbb C^N$ большого (при изучении некомпактных многообразий) или малого (при изучении особенностей) радиуса. Подробное изложение возникающих здесь асимптотических по радиусу формул см. в статье³: Griffiths P. A. Complex differential and integral geometry and curvature integrals associated to singularities of complex analytic varieties. — Duke Math. J., 1978, vol. 45, N 3, p. 427–512, и в докладе Гриффитса на конгрессе в Хельсинки: Griffiths P. A. Some problems in complex analytic geometry with growth conditions. — Proc. Intern. Congr. Math. (Helsinki, 1978), Helsinki, 1980, vol. 2, p. 645–651.

Г. Основным результатом статьи Вейля об объеме труб является независимость коэффициентов разложения объема от вложения подмногообразия в евклидово пространство и явные выражения этих коэффициентов через внутреннюю геометрию подмногообразия, а именно через компоненты тензора кривизны. Эти выражения станут, быть может, понятнее, если их записать в бескоординатном, безындексном виде.

Тензор римановой кривизны можно рассматривать как симметрический линейный оператор из внешней второй степени касательного пространства в себя. Это позволяет определить внешние степени указанного оператора, которые будут действовать из четных внешних степеней касательного пространства в себя. Следы этих операторов и являются подынтегральными выражениями в формулах Вейля для коэффициентов разложения объемов труб, т. е. симметрическими функциями главных внешних кривизн.

Опубликовано в книге Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984.