Котёнок на лестнице
По мотивам книги «Прямые и кривые».
Переход между слайдами — стрелочками.
Лестница, стоявшая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз (всё время касаясь стены). По какой линии движется котёнок, сидящий на середине лестницы?
Лестница, стоявшая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз (всё время касаясь стены). По какой линии движется котёнок, сидящий на середине лестницы?
Возникает предположение: искомая линия — дуга окружности. Но как это доказать?
Достроим треугольник из лестницы и угла до прямоугольника.
Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.
То есть можно считать, что котёнок сидит на середине зелёной лестницы, конец которой закреплён у стены.
Итак, мы доказали, что котёнок движется по окружности.
Перейдём к другой задаче, на первый взгляд никак не связанной с первой.
По неподвижной окружности, касаясь её изнутри, катится без проскальзывания окружность вдвое меньшего радиуса.
По неподвижной окружности, касаясь её изнутри, катится без проскальзывания окружность вдвое меньшего радиуса.
По какой траектории движется фиксированная точка на меньшей окружности?
По неподвижной окружности, касаясь её изнутри, катится без проскальзывания окружность вдвое меньшего радиуса.
По какой траектории движется фиксированная точка на меньшей окружности?
Ответ в этой задаче до удивления простой: точка движется по прямой — а точнее, по диаметру неподвижной окружности.
(Этот результат называется теоремой Коперника.)
В некоторый момент окружности коснутся в отмеченной точке. Обозначим через $A$ соответствующую точку на большой окружности.
Прокатим ещё немного меньшую окружность.
Так как проскальзывания нет,
синие дуги одинаковой длины.
Раз длины дуг $KT$ и $AT$ равны, а радиус подвижной окружности вдвое меньше, $\angle KQT=2\angle AOT$.
А $\angle KOT$ по теореме о вписанном угле вдвое меньше, $\angle KOT=\angle AOT$. То есть точка $K$ лежит на радиусе $OA$.
Это рассуждение работает вплоть до момента, когда точка $K$ совпадает с точкой $O$.
Это рассуждение работает вплоть до момента, когда точка $K$ совпадает с точкой $O$. В этот момент угол $AKT$ становится прямым.
Дальше длина синей дуги становится больше половины длины меньшей окружности, и наше рассуждение нуждается в небольшой модификации.
Мы получаем, что $\angle KOT=180^\circ-\angle AOT$
и точка $K$ всё равно лежит на прямой $AO$.
Теорема Коперника доказана.
Оказывается, теорема Коперника непосредственно связана с задачей про котёнка на лестнице!
Посмотрим как соскальзывает стоящий у стены угольник.
Посмотрим как соскальзывает стоящий у стены угольник.
Мы уже знаем, что середина его гипотенузы движется по окружности.
А как движется вершина его прямого угла?
Посмотрим как соскальзывает стоящий у стены угольник.
Докажем, что вершина его прямого угла движется по прямой.
Опишем вокруг угольника окружность. Как следует из задачи про котёнка, она проходит через начало координат.
Поэтому два отмеченных угла равны как вписанные. А раз угол между стеной и направлением на синюю точку постоянен (он равен углу угольника), она движется по прямой.
Добавим на рисунок окружность вдвое большего радиуса.
Когда маленькая окружность катится по большой, чёрные вершины едут по «стене» и «полу» в силу теоремы Коперника.
Когда маленькая окружность катится по большой, чёрные вершины едут по «стене» и «полу» в силу теоремы Коперника.
Когда маленькая окружность катится по большой, чёрные вершины едут по «стене» и «полу» в силу теоремы Коперника.
По той же причине синяя вершина также движется по прямой.
Котёнок теперь сидит в центре меньшей окружности (который, очевидно, движется по окружности).
Котёнок теперь сидит в центре меньшей окружности (который, очевидно, движется по окружности).
А какую фигуру при таком движении заметает вся лестница?
А какую фигуру при таком движении заметает вся лестница?
А какую фигуру при таком движении заметает вся лестница?
Видно, что это совсем не вся внутренность окружности.
Кривая, ограничивающая это множество точек, — астроида.
Кривая, ограничивающая это множество точек, — астроида.
Она получается как траектория точки, если катать внутри большой окружности окружность вчетверо меньшего радиуса.
Об астроиде и о том, почему она появляется в этой задаче, тоже можно узнать из книги «Прямые и кривые».
по мотивам книги
«Прямые и кривые»
Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера.
версия 1.1.2
другие истории: про оптическое свойство